证明二项分布的逼近

今天在书上看到这样一段话

设随机变量X~B(n, p),当n很大,p很小,且λ = np适中时,有

PX=kλkk!ek = 0, 1, 2, ...

不过书上没有给出证明,下面就是这个近似的证明。

首先我们对二项分布的公式变形如下

Cnkpk1-pn-k

=n!k!n-k!pk1-pn-k

=nn-1...n-k+1k!pk1-pn-k

接着对上式取极限,当n趋于无穷大,p趋于0+时

limnp0+nn-1...n-k+1k!pk1-pn-k

=limnp0+nn-1...n-k+1pkk!1-p-1p-pn

在上面一步中,因为n是趋于无穷大的,所以对n-k取极限得n,然后提出一个 负的1/p
可以看到分式右边有形如下方所示的式子,取极限得e。

limx01+x1x

取极限为e之后我们得到:

=limnp0+npkk!e-np

上面一步因为n趋于无穷大,所以分子部分每个n的式子都取为n,一共有k个,即n的k次方
下一步我们使用λ替换np即可

=λkk!e

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